Kurt Gödel, Gödel juga mengeja Goedel, (lahir 28 April 1906, Brünn, Austria-Hongaria [sekarang Brno, Republik Ceko.] - meninggal pada 14 Juli 1978, Princeton, NJ, AS), ahli matematika kelahiran Austria, ahli logika, dan filsuf yang memperoleh apa yang mungkin merupakan hasil matematika paling penting dari abad ke-20: teorema ketidaklengkapannya yang terkenal, yang menyatakan bahwa di dalam sistem matematika aksiomatik ada proposisi yang tidak dapat dibuktikan atau disangkal atas dasar aksioma dalam sistem itu; dengan demikian, sistem seperti itu tidak dapat secara bersamaan melengkapi dan konsisten. Bukti ini menjadikan Gödel sebagai salah satu ahli logika terhebat sejak Aristoteles, dan dampaknya terus dirasakan dan diperdebatkan hingga saat ini.
dasar matematika: Gödel
Tersirat dalam program Hilbert adalah harapan bahwa gagasan sintaksis tentang provabilitas akan menangkap gagasan semantik tentang kebenaran. Gödel
awal kehidupan dan karir
Gödel menderita melalui beberapa periode kesehatan yang buruk sebagai seorang anak, setelah pertarungan pada usia 6 dengan demam rematik, yang membuatnya takut memiliki beberapa masalah jantung sisa. Kekhawatiran seumur hidupnya dengan kesehatannya mungkin telah berkontribusi pada paranoia akhirnya, yang termasuk obsesif membersihkan peralatan makannya dan mengkhawatirkan kemurnian makanannya.
Sebagai orang Austria yang berbahasa Jerman, Gödel tiba-tiba mendapati dirinya tinggal di negara Cekoslowakia yang baru dibentuk ketika Kekaisaran Austro-Hungaria dibubarkan pada akhir Perang Dunia I pada tahun 1918. Namun, enam tahun kemudian, ia pergi untuk belajar di Austria, di Universitas Wina, tempat ia memperoleh gelar doktor dalam matematika pada tahun 1929. Ia bergabung dengan fakultas di Universitas Wina pada tahun berikutnya.
Selama periode itu, Wina adalah salah satu pusat intelektual dunia. Itu adalah rumah bagi Lingkaran Wina yang terkenal, sekelompok ilmuwan, matematikawan, dan filsuf yang mendukung pandangan naturalistik, sangat empiris, dan antimetafisik yang dikenal sebagai positivisme logis. Penasihat disertasi Gödel, Hans Hahn, adalah salah satu pemimpin Lingkaran Wina, dan ia memperkenalkan siswa bintangnya kepada kelompok itu. Namun, pandangan filosofis Gödel sendiri tidak jauh berbeda dari pandangan kaum positivis. Dia berlangganan Platonisme, teisme, dan dualisme pikiran-tubuh. Selain itu, dia juga agak tidak stabil secara mental dan mengalami paranoia — masalah yang semakin memburuk seiring bertambahnya usia. Dengan demikian, kontaknya dengan anggota Lingkaran Wina membuatnya merasa bahwa abad ke-20 memusuhi ide-idenya.
Teorema Gödel
Dalam tesis doktoralnya, "Über die Vollständigkeit des Logikkalküls" ("Pada Kelengkapan Kalkulus Logika"), yang diterbitkan dalam bentuk yang agak dipersingkat pada tahun 1930, Gödel membuktikan salah satu hasil logis terpenting abad ini — bahkan, dari sepanjang waktu — yaitu, teorema kelengkapan, yang menetapkan bahwa logika orde pertama klasik, atau kalkulus predikat, lengkap dalam arti bahwa semua kebenaran logis orde pertama dapat dibuktikan dalam sistem bukti orde pertama standar.
Akan tetapi, ini tidak seberapa dibandingkan dengan apa yang diterbitkan oleh Gödel pada tahun 1931 — yaitu, teorema ketidaklengkapan: “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme” (“Tentang Proposisi Resmi Principia Mathematica dan Sistem Terkait” yang tidak dapat diputuskan). Secara kasar, teorema ini menetapkan hasil bahwa mustahil untuk menggunakan metode aksiomatik untuk membangun teori matematika, dalam cabang matematika mana pun, yang mencakup semua kebenaran dalam cabang matematika itu. (Di Inggris, Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell telah menghabiskan waktu bertahun-tahun untuk program seperti itu, yang mereka terbitkan sebagai Principia Mathematica dalam tiga volume pada tahun 1910, 1912, dan 1913). Misalnya, tidak mungkin untuk menghasilkan teori matematika aksiomatik yang bahkan menangkap semua kebenaran tentang bilangan asli (0, 1, 2, 3,
). Ini adalah hasil negatif yang sangat penting, karena sebelum 1931 banyak ahli matematika berusaha untuk melakukan hal itu — membangun sistem aksioma yang dapat digunakan untuk membuktikan semua kebenaran matematika. Memang, beberapa ahli logika dan matematikawan terkenal (misalnya, Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) menghabiskan sebagian besar karir mereka dalam proyek ini. Sayangnya bagi mereka, teorema Gödel menghancurkan seluruh program penelitian aksiomatik ini.
Menjadi bintang internasional dan pindah ke Amerika Serikat
Setelah penerbitan teorema ketidaklengkapan, Gödel menjadi tokoh intelektual yang dikenal secara internasional. Dia melakukan perjalanan ke Amerika Serikat beberapa kali dan mengajar secara ekstensif di Universitas Princeton di New Jersey, di mana dia bertemu Albert Einstein. Ini adalah awal dari persahabatan dekat yang akan berlangsung sampai kematian Einstein pada tahun 1955.
Namun, itu juga selama periode ini bahwa kesehatan mental Gödel mulai memburuk. Dia menderita depresi, dan, setelah pembunuhan Moritz Schlick, salah satu pemimpin Lingkaran Wina, oleh seorang siswa gila, Gödel menderita gangguan saraf. Pada tahun-tahun mendatang, ia menderita beberapa lagi.
Setelah Nazi Jerman menganeksasi Austria pada 12 Maret 1938, Gödel mendapati dirinya dalam situasi yang agak canggung, sebagian karena ia memiliki sejarah panjang hubungan dekat dengan berbagai anggota Yahudi dari Lingkaran Wina (memang, ia telah diserang di jalan-jalan Wina oleh pemuda yang berpikir bahwa dia adalah Yahudi) dan sebagian karena dia tiba-tiba dalam bahaya wajib militer ke tentara Jerman. Pada 20 September 1938, Gödel menikahi Adele Nimbursky (née Porkert), dan, ketika Perang Dunia II pecah setahun kemudian, ia melarikan diri dari Eropa bersama istrinya, naik kereta api trans-Siberia melintasi Asia, berlayar melintasi Samudra Pasifik, dan kemudian naik kereta lain melintasi Amerika Serikat ke Princeton, NJ, di mana, dengan bantuan Einstein, ia mengambil posisi di Institute for Advanced Studies (IAS) yang baru dibentuk. Dia menghabiskan sisa hidupnya bekerja dan mengajar di IAS, dari mana ia pensiun pada tahun 1976. Gödel menjadi warga negara AS pada tahun 1948. (Einstein menghadiri audiensi karena perilaku Gödel agak tidak dapat diprediksi, dan Einstein takut bahwa Gödel akan menyabotase miliknya. kasus sendiri.)
Pada tahun 1940, hanya beberapa bulan setelah ia tiba di Princeton, Gödel menerbitkan makalah matematika klasik lain, “Konsistensi Aksioma Pilihan dan Hipotesis Continuum-Generalized dengan Aksioma Set Teori,” yang membuktikan bahwa aksioma pilihan dan kontinum hipotesis konsisten dengan aksioma standar (seperti aksioma Zermelo-Fraenkel) dari teori himpunan. Ini membuktikan setengah dugaan Gödel — yaitu, bahwa hipotesis kontinum tidak dapat dibuktikan benar atau salah dalam teori himpunan standar. Bukti Gödel menunjukkan bahwa itu tidak dapat dibuktikan salah dalam teori-teori itu. Pada tahun 1963, ahli matematika Amerika Paul Cohen menunjukkan bahwa teori itu juga tidak dapat dibuktikan kebenarannya, dengan membuktikan dugaan Gödel.
Pada 1949 Gödel juga membuat kontribusi penting untuk fisika, menunjukkan bahwa teori relativitas umum Einstein memungkinkan untuk perjalanan waktu.
