Hipotesis kontinum, pernyataan teori himpunan bahwa himpunan bilangan real (kontinum) dalam arti sekecil mungkin. Pada tahun 1873 ahli matematika Jerman Georg Cantor membuktikan bahwa kontinum tidak dapat dihitung — yaitu, bilangan real adalah tak terhingga yang lebih besar daripada angka penghitungan — hasil utama dalam memulai teori himpunan sebagai subjek matematika. Selain itu, Cantor mengembangkan cara untuk mengklasifikasikan ukuran set yang tak terbatas sesuai dengan jumlah elemennya, atau kardinalitasnya. (Lihat teori himpunan: Kardinalitas dan bilangan tak terbatas.) Dalam istilah ini, hipotesis kontinum dapat dinyatakan sebagai berikut: Kardinalitas kontinum adalah bilangan kardinal terkecil yang tak terhitung.
teori himpunan: Kardinalitas dan angka tak terbatas
dugaan yang dikenal sebagai hipotesis kontinum.
Dalam notasi Cantor, hipotesis kontinum dapat dinyatakan dengan persamaan sederhana 2 ℵ 0 = ℵ 1, di mana ℵ 0 adalah bilangan kardinal dari himpunan tak terhingga yang tak terhingga (seperti himpunan bilangan alami), dan bilangan kardinal yang lebih besar “ set yang tertata dengan baik ”adalah ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, diindeks oleh nomor urut. Kardinalitas kontinum dapat ditunjukkan sama dengan 2 ℵ 0; dengan demikian, hipotesis kontinum mengesampingkan adanya seperangkat ukuran antara antara bilangan alami dan kontinum.
Pernyataan yang lebih kuat adalah hipotesis kontinum umum (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 untuk setiap nomor α. Matematikawan Polandia Wacław Sierpiński membuktikan bahwa dengan GCH kita dapat memperoleh aksioma pilihan.
Seperti dengan aksioma pilihan, ahli matematika Amerika kelahiran Austria Kurt Gödel membuktikan pada tahun 1939 bahwa, jika aksioma standar Zermelo-Fraenkel lainnya (ZF; lihat
tabel) konsisten, maka mereka tidak menyangkal hipotesis kontinum atau bahkan GCH. Artinya, hasil menambahkan GCH ke aksioma lain tetap konsisten. Kemudian pada tahun 1963 ahli matematika Amerika Paul Cohen menyelesaikan gambar dengan menunjukkan, sekali lagi dengan asumsi bahwa ZF konsisten, bahwa ZF tidak menghasilkan bukti hipotesis kontinum.
Karena ZF tidak membuktikan atau membantah hipotesis kontinum, masih ada pertanyaan apakah akan menerima hipotesis kontinum berdasarkan pada konsep informal tentang set apa. Jawaban umum dalam komunitas matematika adalah negatif: hipotesis kontinum adalah pernyataan yang membatasi dalam konteks di mana tidak ada alasan yang diketahui untuk memaksakan batas. Dalam teori himpunan, operasi himpunan daya menetapkan untuk setiap himpunan kardinalitas ℵ α himpunan semua himpunan bagian, yang memiliki kardinalitas 2 ℵ α. Tampaknya tidak ada alasan untuk memaksakan batasan pada variasi himpunan bagian yang mungkin dimiliki oleh himpunan tak terbatas.
