Diophantus, nama panggilan Diophantus dari Aleksandria, (berkembang sekitar tahun 250), ahli matematika Yunani, terkenal karena karyanya dalam aljabar.
teori bilangan: Diophantus
Matematikawan Yunani kemudian, terutama yang perlu diperhatikan adalah Diophantus dari Alexandria (berkembang sekitar tahun 250), penulis
Apa yang sedikit diketahui tentang kehidupan Diophantus adalah tidak langsung. Dari sebutan "Aleksandria" tampaknya ia bekerja di pusat ilmiah utama dunia Yunani kuno; dan karena dia tidak disebutkan sebelum abad ke-4, sepertinya dia berkembang pada abad ke-3. Sebuah epigram aritmatika dari Anthologia Graeca akhir zaman kuno, konon untuk menelusuri kembali beberapa landmark hidupnya (pernikahan pada usia 33 tahun, kelahiran putranya pada usia 38 tahun, kematian putranya empat tahun sebelum putrinya pada usia 84), mungkin bisa dibuat-buat. Dua karya telah turun kepada kita di bawah namanya, keduanya tidak lengkap. Yang pertama adalah fragmen kecil pada bilangan poligon (bilangan poligonal jika jumlah titik yang sama dapat diatur dalam bentuk poligon reguler). Yang kedua, risalah besar dan sangat berpengaruh yang menjadi dasar ketenaran kuno dan modern Diophantus, adalah Arithmetica-nya. Kepentingan historisnya ada dua: ini adalah karya pertama yang diketahui menggunakan aljabar dalam gaya modern, dan mengilhami kelahiran kembali teori bilangan.
Arithmetica dimulai dengan pengantar yang ditujukan kepada Dionysius — bisa dibilang St. Dionysius dari Alexandria. Setelah beberapa generalisasi tentang angka, Diophantus menjelaskan simbolismenya — ia menggunakan simbol untuk yang tidak diketahui (sesuai dengan x kita) dan kekuatannya, positif atau negatif, serta untuk beberapa operasi aritmatika — sebagian besar simbol ini jelas merupakan singkatan juru tulis. Ini adalah yang pertama dan satu-satunya kemunculan simbol aljabar sebelum abad ke-15. Setelah mengajarkan penggandaan kekuatan yang tidak diketahui, Diophantus menjelaskan penggandaan istilah positif dan negatif dan kemudian bagaimana mengurangi persamaan menjadi satu dengan hanya istilah positif (bentuk standar lebih disukai di zaman kuno). Dengan penyisihan ini, Diophantus melanjutkan ke masalah. Memang, Arithmetica pada dasarnya adalah kumpulan masalah dengan solusi, sekitar 260 di bagian masih ada.
Pendahuluan juga menyatakan bahwa karya ini dibagi menjadi 13 buku. Enam dari buku-buku ini dikenal di Eropa pada akhir abad ke-15, ditransmisikan dalam bahasa Yunani oleh para sarjana Bizantium dan diberi nomor dari I hingga VI; empat buku lain ditemukan pada tahun 1968 dalam terjemahan Arab abad ke-9 oleh Qusṭā ibn Lūqā. Namun, teks Arab tidak memiliki simbolisme matematis, dan tampaknya didasarkan pada komentar Yunani kemudian - mungkin Hypatia (c. 370-415) - yang melemahkan eksposisi Diophantus. Kita sekarang tahu bahwa penomoran buku-buku Yunani harus diubah: Arithmetica dengan demikian terdiri dari Buku I ke III dalam bahasa Yunani, Buku IV ke VII dalam bahasa Arab, dan, mungkin, Buku VIII ke X dalam bahasa Yunani (sebelumnya Buku Yunani IV ke VI). Penomoran ulang lebih lanjut tidak mungkin; cukup pasti bahwa Bizantium hanya tahu enam buku yang mereka kirimkan dan orang-orang Arab tidak lebih dari Buku I hingga VII dalam versi komentar.
Masalah-masalah pada Buku I bukanlah karakteristik, kebanyakan masalah sederhana yang digunakan untuk menggambarkan perhitungan aljabar. Ciri-ciri khas masalah Diophantus muncul dalam buku-buku selanjutnya: mereka tidak pasti (memiliki lebih dari satu solusi), memiliki derajat kedua atau dapat direduksi ke tingkat kedua (kekuatan tertinggi pada istilah variabel adalah 2, yaitu, x 2), dan diakhiri dengan penentuan nilai rasional positif untuk yang tidak diketahui yang akan membuat ekspresi aljabar tertentu menjadi angka numerik atau terkadang kubus. (Sepanjang bukunya Diophantus menggunakan "angka" untuk merujuk pada apa yang sekarang disebut positif, bilangan rasional; dengan demikian, bilangan kuadrat adalah kuadrat dari bilangan positif, bilangan rasional.) Buku II dan III juga mengajarkan metode umum. Dalam tiga masalah Buku II dijelaskan bagaimana merepresentasikan: (1) bilangan kuadrat apa pun yang diberikan sebagai jumlah kuadrat dari dua bilangan rasional; (2) setiap bilangan non-kuadrat yang diberikan, yang merupakan jumlah dari dua kotak yang diketahui, sebagai jumlah dari dua kotak lainnya; dan (3) bilangan rasional apa pun yang diberikan sebagai selisih dua kotak. Sementara masalah pertama dan ketiga dinyatakan secara umum, pengetahuan yang diasumsikan dari satu solusi dalam masalah kedua menunjukkan bahwa tidak setiap bilangan rasional adalah jumlah dari dua kotak. Diophantus kemudian memberikan kondisi untuk bilangan bulat: angka yang diberikan tidak boleh mengandung faktor prima dari bentuk 4n + 3 yang dinaikkan menjadi kekuatan aneh, di mana n adalah bilangan bulat non-negatif. Contoh-contoh semacam itu memotivasi kelahiran kembali teori bilangan. Meskipun Diophantus biasanya puas untuk mendapatkan satu solusi untuk suatu masalah, ia kadang-kadang menyebutkan dalam masalah bahwa ada banyak sekali solusi.
Dalam Buku IV hingga VII Diophantus memperluas metode dasar seperti yang diuraikan di atas untuk masalah derajat yang lebih tinggi yang dapat direduksi menjadi persamaan binomial tingkat pertama atau kedua. Preferensi untuk buku-buku ini menyatakan bahwa tujuannya adalah untuk memberikan pembaca "pengalaman dan keterampilan." Sementara penemuan baru-baru ini tidak menambah pengetahuan tentang matematika Diophantus, ia mengubah penilaian kemampuan pedagogisnya. Buku VIII dan IX (mungkin Buku Yunani IV dan V) memecahkan masalah yang lebih sulit, bahkan jika metode dasarnya tetap sama. Misalnya, satu masalah melibatkan penguraian bilangan bulat yang diberikan ke dalam jumlah dua kuadrat yang secara sewenang-wenang dekat satu sama lain. Masalah serupa melibatkan penguraian bilangan bulat yang diberikan ke dalam jumlah tiga kotak; di dalamnya, Diophantus mengecualikan kasus bilangan bulat yang mustahil dari bentuk 8n + 7 (sekali lagi, n adalah bilangan bulat non-negatif). Buku X (mungkin Yunani Buku VI) berurusan dengan segitiga siku-siku dengan sisi rasional dan tunduk pada berbagai kondisi lebih lanjut.
Isi dari tiga buku Arithmetica yang hilang dapat diperkirakan dari pendahuluan, di mana, setelah mengatakan bahwa pengurangan masalah harus "jika mungkin" diakhiri dengan persamaan binomial, Diophantus menambahkan bahwa ia akan "nanti" menangani kasus ini. persamaan trinomial — janji yang tidak dipenuhi di bagian yang masih ada.
Meskipun ia memiliki alat aljabar terbatas yang dapat digunakannya, Diophantus berhasil memecahkan berbagai masalah besar, dan Arithmetica menginspirasi ahli matematika Arab seperti al-Karaji (sekitar 980-1030) untuk menerapkan metode-metodenya. Perpanjangan paling terkenal dari karya Diophantus adalah oleh Pierre de Fermat (1601–65), pendiri teori bilangan modern. Dalam margin salinan Arithmetica, Fermat menulis berbagai komentar, mengusulkan solusi baru, koreksi, dan generalisasi metode Diophantus serta beberapa dugaan seperti teorema terakhir Fermat, yang menduduki matematikawan untuk generasi yang akan datang. Persamaan tak tentu terbatas pada solusi integral telah dikenal, meskipun tidak tepat, sebagai persamaan Diophantine.
