Masalah Sturm-Liouville, atau masalah nilai eigen, dalam matematika, kelas persamaan diferensial parsial (PDE) tertentu tunduk pada kendala tambahan, yang dikenal sebagai nilai batas, pada solusi. Persamaan seperti itu biasa dalam fisika klasik (misalnya konduksi termal) dan mekanika kuantum (misalnya persamaan Schrödinger) untuk menggambarkan proses di mana beberapa nilai eksternal (nilai batas) dijaga konstan sementara sistem minat mentransmisikan beberapa bentuk energi.
Pada pertengahan 1830-an, ahli matematika Prancis Charles-François Sturm dan Joseph Liouville secara mandiri bekerja pada masalah konduksi panas melalui batang logam, dalam proses mengembangkan teknik untuk memecahkan kelas besar dari PDE, yang paling sederhana mengambil bentuk [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 di mana y adalah kuantitas fisik (atau fungsi gelombang mekanika kuantum) dan λ adalah parameter, atau nilai eigen, yang membatasi persamaan sehingga bahwa y memenuhi nilai batas pada titik akhir interval di mana rentang variabel x. Jika fungsi p, q, dan r memenuhi kondisi yang sesuai, persamaan akan memiliki keluarga solusi, yang disebut fungsi eigen, yang sesuai dengan solusi nilai eigen.
Untuk kasus nonhomogen yang lebih rumit di mana sisi kanan persamaan di atas adalah fungsi, f (x), bukan nol, nilai eigen dari persamaan homogen yang sesuai dapat dibandingkan dengan nilai eigen dari persamaan asli. Jika nilai-nilai ini berbeda, masalahnya akan memiliki solusi yang unik. Di sisi lain, jika salah satu dari nilai-nilai eigen ini cocok, masalahnya tidak akan memiliki solusi atau seluruh keluarga solusi, tergantung pada sifat-sifat fungsi f (x).
