Fungsi Riemann zeta, fungsi yang berguna dalam teori bilangan untuk menyelidiki properti bilangan prima. Ditulis sebagai ζ (x), pada awalnya didefinisikan sebagai deret tak hinggaζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Ketika x = 1, seri ini disebut seri harmonik, yang meningkat tanpa terikat — yaitu, jumlahnya tidak terbatas. Untuk nilai x lebih besar dari 1, deret tersebut konvergen ke angka yang terbatas ketika istilah-istilah yang berurutan ditambahkan. Jika x kurang dari 1, jumlahnya lagi tak terhingga. Fungsi zeta diketahui oleh ahli matematika Swiss Leonhard Euler pada tahun 1737, tetapi pertama kali dipelajari secara luas oleh ahli matematika Jerman, Bernhard Riemann.
Pada 1859 Riemann menerbitkan sebuah makalah yang memberikan formula eksplisit untuk jumlah bilangan prima hingga batas yang ditentukan sebelumnya — suatu perbaikan yang diputuskan atas nilai perkiraan yang diberikan oleh teorema bilangan prima. Namun, rumus Riemann bergantung pada mengetahui nilai-nilai di mana versi umum fungsi zeta sama dengan nol. (Fungsi Riemann zeta didefinisikan untuk semua bilangan kompleks — bilangan bentuk x + iy, di mana i = akar kuadrat√√ 1 — kecuali untuk baris x = 1.) Riemann tahu bahwa fungsi sama dengan nol untuk semua negatif bahkan bilangan bulat −2, −4, −6,
(disebut trivial zero), dan memiliki nol dalam jumlah tak terbatas dalam strip kritis bilangan kompleks antara garis x = 0 dan x = 1, dan ia juga tahu bahwa semua nol nontrivial simetris berkenaan dengan kritis baris x = 1 / 2. Riemann menduga bahwa semua nol nontrivial berada di garis kritis, sebuah dugaan yang kemudian dikenal sebagai hipotesis Riemann.
Pada tahun 1900, ahli matematika Jerman David Hilbert menyebut hipotesis Riemann sebagai salah satu pertanyaan paling penting dalam semua matematika, seperti yang ditunjukkan dengan dimasukkannya dalam daftar berpengaruh dari 23 masalah yang belum terpecahkan yang dengannya dia menantang ahli matematika abad ke-20. Pada tahun 1915, ahli matematika Inggris Godfrey Hardy membuktikan bahwa jumlah nol yang tak terbatas terjadi pada garis kritis, dan pada tahun 1986, angka nol nontrivial nontrivial pertama sebanyak 1.500.000.001 semuanya ditunjukkan pada garis kritis. Meskipun hipotesis tersebut mungkin ternyata salah, investigasi masalah sulit ini telah memperkaya pemahaman tentang bilangan kompleks.
