Analisis tensor, cabang matematika yang berkaitan dengan hubungan atau hukum yang tetap berlaku terlepas dari sistem koordinat yang digunakan untuk menentukan jumlah. Hubungan semacam itu disebut kovarian. Tensor diciptakan sebagai perpanjangan vektor untuk memformalkan manipulasi entitas geometris yang timbul dalam studi berjenis matematika.
Vektor adalah entitas yang memiliki besaran dan arah; itu dapat diwakili oleh gambar panah, dan menggabungkan dengan entitas yang sama sesuai dengan hukum jajaran genjang. Karena hukum itu, vektor memiliki komponen — set yang berbeda untuk setiap sistem koordinat. Ketika sistem koordinat diubah, komponen-komponen dari vektor berubah sesuai dengan hukum matematika transformasi yang dikurangkan dari hukum jajaran genjang. Hukum transformasi komponen ini memiliki dua sifat penting. Pertama, setelah urutan perubahan yang berakhir di sistem koordinat asli, komponen vektor akan sama dengan di awal. Kedua, hubungan antar vektor — misalnya, tiga vektor U, V, W sehingga 2U + 5V = 4W — akan hadir dalam komponen terlepas dari sistem koordinat.
Oleh karena itu vektor dapat dianggap sebagai entitas yang, dalam ruang n-dimensi, memiliki n komponen yang berubah sesuai dengan hukum transformasi tertentu yang memiliki sifat-sifat di atas. Vektor itu sendiri adalah entitas objektif yang tidak tergantung pada koordinat, tetapi diperlakukan dalam hal komponen dengan semua sistem koordinat pada pijakan yang sama.
Tanpa bersikeras pada gambar bergambar, tensor didefinisikan sebagai entitas objektif yang memiliki komponen yang berubah sesuai dengan hukum transformasi yang merupakan generalisasi dari hukum transformasi vektor tetapi mempertahankan dua sifat utama dari hukum tersebut. Untuk kenyamanan, koordinat biasanya diberi nomor dari 1 hingga n, dan setiap komponen tensor dilambangkan dengan huruf yang memiliki superskrip dan subskrip, yang masing-masing secara independen mengambil nilai 1 hingga n. Dengan demikian, tensor yang diwakili oleh komponen T ab c akan memiliki komponen n 3 sebagai nilai a, b, dan c berjalan dari 1 ke n. Skalar dan vektor merupakan kasus khusus dari tensor, yang pertama hanya memiliki satu komponen per sistem koordinat dan yang terakhir memiliki n. Setiap hubungan linier antara komponen tensor, seperti 7R a bcd + 2S a bcd - 3T a bcd = 0, jika valid dalam satu sistem koordinat, valid dalam semua dan dengan demikian mewakili hubungan yang objektif dan independen dari sistem koordinat terlepas dari kurangnya representasi gambar.
Dua tensor, disebut tensor metrik dan tensor kelengkungan, sangat menarik. Tensor metrik digunakan, misalnya, dalam mengubah komponen vektor menjadi besaran vektor. Untuk kesederhanaan, pertimbangkan kasus dua dimensi dengan koordinat tegak lurus sederhana. Biarkan vektor V memiliki komponen V 1, V 2. Kemudian oleh teorema Pythagoras yang diterapkan pada segitiga siku-siku OAP kuadrat dari besarnya V diberikan olehOP 2 = (V 1) 2 + (V 2) 2.
Tersembunyi dalam persamaan ini adalah tensor metrik. Tersembunyi karena di sini terdiri dari 0 dan 1 yang tidak ditulis. Jika persamaan ditulis ulang dalam bentukOP 2 = 1 (V 1) 2 + 0V 1 V 2 + 0V 2 V 1 + 1 (V 2) 2, set lengkap komponen (1, 0, 0, 1) dari tensor metrik tampak jelas. Jika koordinat miring digunakan, rumus untuk OP 2 mengambil bentuk yang lebih umumOP 2 = g 11 (V 1) 2 + g 12 V 1 V 2 + g 21 V 2 V 1 + g 22 (V 2) 2, jumlah g 11, g 12, g 21, g 22 menjadi komponen baru dari tensor metrik.
Dari tensor metrik dimungkinkan untuk membuat tensor yang rumit, yang disebut tensor kelengkungan, yang mewakili berbagai aspek kelengkungan intrinsik ruang dimensi-n yang menjadi tempatnya.
Tensor memiliki banyak aplikasi dalam bidang geometri dan fisika. Dalam menciptakan teori relativitas umumnya, Albert Einstein berpendapat bahwa hukum fisika harus sama tidak peduli apa pun sistem koordinat yang digunakan. Ini membuatnya mengungkapkan hukum-hukum itu dalam bentuk persamaan tensor. Sudah diketahui dari teori relativitas khususnya bahwa waktu dan ruang saling terkait erat sehingga membentuk ruang-waktu empat dimensi yang tak terpisahkan. Einstein mendalilkan bahwa gravitasi harus diwakili semata-mata dalam hal tensor metrik ruang-waktu empat dimensi. Untuk mengungkapkan hukum gravitasi relativisme, ia memiliki sebagai penghambat tensor metrik dan tensor kelengkungan yang terbentuk darinya. Begitu ia memutuskan untuk membatasi diri pada balok-balok pembangun ini, kekurangannya membuatnya membawanya ke persamaan tensor yang pada dasarnya unik untuk hukum gravitasi, di mana gravitasi muncul bukan sebagai kekuatan tetapi sebagai manifestasi kelengkungan ruang-waktu.
Sementara tensor telah dipelajari sebelumnya, itu adalah keberhasilan teori relativitas umum Einstein yang memunculkan minat luas para ahli matematika dan ahli fisika saat ini dalam tensor dan aplikasi mereka.
