Analisis matematika

Sejarah analisis

Orang-orang Yunani menghadapi besaran yang terus menerus

Analisis terdiri dari bagian-bagian matematika di mana perubahan terus-menerus penting. Ini termasuk studi tentang gerak dan geometri kurva dan permukaan yang halus — khususnya, perhitungan garis singgung, area, dan volume. Matematikawan Yunani kuno membuat kemajuan besar dalam teori dan praktik analisis. Teori dipaksakan kepada mereka sekitar 500 SM oleh penemuan Pythagoras tentang besaran irasional dan sekitar 450 SM oleh paradoks gerak Zeno.

Pythagoras dan bilangan irasional

Awalnya, Pythagoras percaya bahwa semua hal dapat diukur dengan bilangan alami diskrit (1, 2, 3,

) dan rasio mereka (fraksi biasa, atau bilangan rasional). Akan tetapi, kepercayaan ini diguncang oleh penemuan bahwa diagonal dari unit square (yaitu, persegi yang sisi-sisinya memiliki panjang 1) tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional. Penemuan ini dibawa oleh teorema Pythagoras mereka sendiri, yang menetapkan bahwa kuadrat pada sisi miring dari segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat di kedua sisi lainnya — dalam notasi modern, c ² = a ² + b ². Dalam satuan persegi, diagonal adalah sisi miring dari segitiga siku-siku, dengan sisi a = b = 1; karenanya, ukurannya adalah akar kuadrat√2 — bilangan irasional. Melawan niat mereka sendiri, Pythagoras dengan demikian menunjukkan bahwa bilangan rasional tidak cukup untuk mengukur objek geometris yang sederhana sekalipun. (Lihat Bilah Samping: Tidak Dapat Dibandingkan.) Reaksi mereka adalah menciptakan aritmatika segmen garis, seperti yang ditemukan dalam Buku II Elemen Euclid (c. 300 SM), yang mencakup interpretasi geometris angka-angka rasional. Bagi orang Yunani, segmen garis lebih umum daripada angka, karena mereka termasuk besaran kontinu dan diskrit.

Memang, akar kuadrat √2 dapat dikaitkan dengan bilangan rasional hanya melalui proses tak terbatas. Ini disadari oleh Euclid, yang mempelajari aritmatika bilangan rasional dan segmen garis. Algoritma Euclidean yang terkenal, ketika diterapkan pada sepasang bilangan alami, mengarah pada sejumlah langkah terbatas ke pembagi umum terbesar mereka. Namun, ketika diterapkan pada sepasang segmen garis dengan rasio irasional, seperti akar kuadrat √2 dan 1, gagal untuk mengakhiri. Euclid bahkan menggunakan properti nonterminasi ini sebagai kriteria irasionalitas. Jadi, irasionalitas menantang konsep bilangan Yunani dengan memaksa mereka untuk berurusan dengan proses tanpa batas.

Paradoks Zeno dan konsep gerak

Sama seperti akar kuadrat dari -2 adalah tantangan untuk konsep bilangan orang-orang Yunani, paradoks Zeno adalah tantangan untuk konsep gerak mereka. Dalam Fisika-nya (sekitar 350 SM), Aristoteles mengutip Zeno yang mengatakan:

Tidak ada gerakan karena apa yang dipindahkan harus sampai di tengah [jalan] sebelum tiba di ujung.

Argumen Zeno hanya diketahui melalui Aristoteles, yang mengutip mereka terutama untuk membantahnya. Agaknya, Zeno bermaksud bahwa, untuk mencapai suatu tempat, pertama-tama seseorang harus pergi setengah jalan dan sebelum seperempat jalan dan sebelum seperempat dari jalan dan seterusnya. Karena proses separuh jarak ini akan berlanjut hingga tak terbatas (sebuah konsep yang tidak akan diterima oleh orang Yunani), Zeno mengklaim untuk “membuktikan” bahwa realitas terdiri dari makhluk yang tidak berubah. Namun, terlepas dari kebencian mereka yang tak terbatas, orang-orang Yunani menemukan bahwa konsep itu sangat diperlukan dalam matematika dengan besaran terus menerus. Jadi mereka beralasan tentang ketakterhinggaan sejauh mungkin, dalam kerangka logis yang disebut teori proporsi dan menggunakan metode kelelahan.

Teori proporsi diciptakan oleh Eudoxus sekitar 350 SM dan diawetkan dalam Buku V Elemen Euclid. Ini membangun hubungan yang tepat antara magnitudo rasional dan magnitudo arbitrer dengan mendefinisikan dua magnitudo untuk menjadi sama jika magnitudo rasional kurang dari mereka adalah sama. Dengan kata lain, dua magnitudo berbeda hanya jika ada magnitudo rasional di antara keduanya. Definisi ini melayani matematikawan selama dua milenium dan membuka jalan untuk aritmetisasi analisis pada abad ke-19, di mana bilangan arbitrer didefinisikan secara ketat dalam hal bilangan rasional. Teori proporsi adalah perlakuan ketat pertama terhadap konsep batas, sebuah gagasan yang merupakan inti dari analisis modern. Dalam istilah modern, teori Eudoxus mendefinisikan besaran arbitrer sebagai batas besaran rasional, dan teorema dasar tentang jumlah, perbedaan, dan produk besaran setara dengan teorema tentang jumlah, perbedaan, dan produk batas.