Logika dan metalogik
Di satu sisi, logika harus diidentifikasi dengan kalkulus predikat orde pertama, kalkulus di mana variabel terbatas pada individu-individu dari domain tetap - meskipun itu mungkin termasuk juga logika identitas, dilambangkan "=," yang mengambil sifat-sifat biasa dari identitas sebagai bagian dari logika. Dalam pengertian ini Gottlob Frege mencapai kalkulus logika formal pada awal 1879. Namun, terkadang logika ditafsirkan, termasuk juga kalkulus predikat tingkat tinggi, yang menerima variabel dari tipe yang lebih tinggi, seperti yang berkisar dari predikat (atau kelas dan hubungan)) dan seterusnya. Tapi kemudian itu adalah langkah kecil untuk dimasukkannya teori himpunan, dan, pada kenyataannya, teori himpunan aksiomatik sering dianggap sebagai bagian dari logika. Namun, untuk keperluan artikel ini, lebih tepat membatasi diskusi dengan logika dalam arti pertama.
Sulit untuk memisahkan temuan signifikan dalam logika dari yang di metalogic, karena semua teorema yang menarik untuk ahli logika adalah tentang logika dan karena itu milik metalogic. Jika p adalah teorema matematika — khususnya, tentang logika — dan P adalah konjungsi dari aksioma matematika yang digunakan untuk membuktikan p, maka setiap p dapat diubah menjadi teorema, “bukan-P atau p,” dalam logika. Matematika tidak dilakukan, bagaimanapun, dengan melakukan secara eksplisit semua langkah sebagaimana diformalkan dalam logika; seleksi dan pemahaman intuitif dari aksioma adalah penting baik untuk matematika maupun untuk metamathematics. Derivasi aktual dalam logika, seperti yang dilakukan sesaat sebelum Perang Dunia I oleh Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell, memiliki sedikit minat intrinsik untuk ahli logika. Karena itu mungkin tampak berlebihan untuk memperkenalkan istilah metalogic. Namun, dalam klasifikasi ini, metalogik dipahami tidak hanya berurusan dengan temuan tentang kalkulus logis tetapi juga dengan studi sistem formal dan bahasa formal pada umumnya.
Sistem formal biasa berbeda dari kalkulus logis karena sistem biasanya memiliki interpretasi yang diinginkan, sedangkan kalkulus logis sengaja membiarkan interpretasi yang mungkin terbuka. Jadi, seseorang berbicara, misalnya, tentang kebenaran atau kepalsuan kalimat dalam sistem formal, tetapi berkenaan dengan kalkulus logis seseorang berbicara tentang validitas (yaitu, berlaku dalam semua interpretasi atau di semua dunia yang mungkin) dan kepuasan (atau memiliki model — yaitu, menjadi benar dalam beberapa interpretasi tertentu). Oleh karena itu, kelengkapan kalkulus logis memiliki makna yang sangat berbeda dari sistem formal: kalkulus logis memungkinkan banyak kalimat sehingga baik kalimat maupun negasinya adalah teorema karena benar dalam beberapa interpretasi dan salah pada yang lain, dan hanya mengharuskan setiap kalimat yang valid menjadi teorema.
