Hippocrates of Chios (fl. C 460 bc) menunjukkan bahwa daerah berbentuk bulan di antara busur melingkar, yang dikenal sebagai bukit, dapat dinyatakan persis sebagai daerah bujursangkar, atau quadrature. Dalam kasus sederhana berikut, dua bukit yang berkembang di sekitar sisi-sisi segitiga siku-siku memiliki luas gabungan yang sama dengan segitiga.
-
Dimulai dengan ΔABC kanan, gambar sebuah lingkaran yang diameternya bertepatan dengan AB (sisi c), sisi miring. Karena setiap segitiga siku-siku yang digambar dengan diameter lingkaran untuk sisi miringnya harus dituliskan di dalam lingkaran, C harus ada di lingkaran.
-
Gambar setengah lingkaran dengan diameter AC (sisi b) dan BC (sisi a) seperti pada gambar.
-
Beri label pada lunes yang dihasilkan L 1 dan L 2 dan segmen yang dihasilkan S 1 dan S 2, seperti yang ditunjukkan pada gambar.
-
Sekarang jumlah dari lunes (L 1 dan L 2) harus sama dengan jumlah setengah lingkaran (L 1 + S 1 dan L 2 + S 2) yang mengandung mereka dikurangi dua segmen (S 1 dan S 2). Jadi, L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (a / 2) 2 - S 2 (karena luas lingkaran adalah π kali kuadrat jari-jari).
-
Jumlah segmen (S 1 dan S 2) sama dengan luas setengah lingkaran berdasarkan AB minus luas segitiga. Jadi, S 1 + S 2 = π / 2 (c / 2) 2 - ΔABC.
-
Mengganti ekspresi dalam langkah 5 ke langkah 4 dan memfaktorkan istilah umum, L 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + b 2 - c 2) + ΔABC.
-
Karena ∠ACB = 90 °, a 2 + b 2 - c 2 = 0, oleh teorema Pythagoras. Jadi, L 1 + L 2 = ΔABC.
Hippocrates berhasil menyusun beberapa jenis bukit pasir, beberapa pada busur yang lebih besar dan kurang dari setengah lingkaran, dan dia mengatakan, meskipun dia mungkin tidak percaya, bahwa metodenya dapat membuat persegi seluruh lingkaran. Pada akhir zaman klasik, Boethius (c. Iklan 470-524), yang terjemahan Latinnya dari potongan Euclid akan membuat cahaya geometri berkelip-kelip selama setengah milenium, menyebutkan bahwa seseorang telah menyelesaikan kuadrat lingkaran. Apakah jenius yang tidak diketahui itu menggunakan ngarai atau metode lain tidak diketahui, karena kurangnya ruang Boethius tidak memberikan demonstrasi. Dia kemudian mentransmisikan tantangan quadrature lingkaran bersama-sama dengan fragmen geometri yang tampaknya berguna dalam melakukan itu. Orang-orang Eropa mempertahankan tugas malang itu sampai ke Pencerahan. Akhirnya, pada 1775, Paris Academy of Sciences, muak dengan tugas menemukan kekeliruan dalam banyak solusi yang diajukan untuk itu, menolak untuk melakukan sesuatu yang lebih jauh dengan circle squarers.
