Hipotesis Riemann, dalam teori bilangan, hipotesis oleh ahli matematika Jerman Bernhard Riemann mengenai lokasi solusi untuk fungsi Riemann zeta, yang terhubung ke teorema bilangan prima dan memiliki implikasi penting untuk distribusi bilangan prima. Riemann memasukkan hipotesis dalam sebuah makalah, “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” (“Tentang Jumlah Bilangan Utama Kurang Dari Kuantitas yang Ditentukan”), yang diterbitkan dalam edisi November 1859 Monatsberichte der Berliner Akademie (“Tinjauan Bulanan Akademi Berlin ”).
Fungsi zeta didefinisikan sebagai deret tak hingga ζ (s) = 1 + 2 + s + 3 + s + 4 + s + ⋯, atau, dalam notasi yang lebih kompak, , di mana penjumlahan (Σ) istilah untuk n berjalan dari 1 hingga tak terbatas melalui bilangan bulat positif dan s adalah bilangan bulat positif tetap lebih besar dari 1. Fungsi zeta pertama kali dipelajari oleh ahli matematika Swiss Leonhard Euler pada abad ke-18. (Untuk alasan ini, kadang-kadang disebut fungsi Euler zeta. Untuk ζ (1), seri ini hanya seri harmonik, yang dikenal sejak jaman dahulu meningkat tanpa terikat — yaitu, jumlahnya tidak terbatas.) Euler mencapai ketenaran instan ketika ia terbukti pada 1735 yang ζ (2) = π 2 /6, masalah yang telah menghindar matematikawan terbesar dari era, termasuk keluarga Swiss Bernoulli (Jakob, Johann, dan Daniel). Lebih umum, Euler menemukan (1739) hubungan antara nilai fungsi zeta untuk bilangan bulat genap dan angka Bernoulli, yang merupakan koefisien dalam ekspansi deret Taylor x / (e x - 1). (Lihat juga fungsi eksponensial.) Masih lebih luar biasa, pada 1737 Euler menemukan formula yang menghubungkan fungsi zeta, yang melibatkan penjumlahan urutan tak terbatas dari istilah yang mengandung bilangan bulat positif, dan produk tak terbatas yang melibatkan setiap bilangan prima:
Riemann memperluas studi fungsi zeta untuk memasukkan bilangan kompleks x + iy, di mana i = akar kuadrat √ 1, kecuali untuk garis x = 1 di bidang kompleks. Riemann tahu bahwa fungsi zeta sama dengan nol untuk semua bilangan bulat genap negatif −2, −4, −6,
(disebut trivial zero) dan memiliki nol dalam jumlah tak terbatas dalam strip kritis bilangan kompleks yang berada di antara garis x = 0 dan x = 1. Dia juga tahu bahwa semua nol nontrivial simetris sehubungan dengan kritis baris x = 1 / 2. Riemann menduga bahwa semua nol nontrivial berada di garis kritis, sebuah dugaan yang kemudian dikenal sebagai hipotesis Riemann.
Pada tahun 1914 Inggris ahli matematika Godfrey Harold Hardy membuktikan bahwa jumlah tak terbatas solusi dari ζ (s) = 0 yang ada di jalur kritis x = 1 / 2. Selanjutnya ditunjukkan oleh berbagai ahli matematika bahwa sebagian besar solusi harus terletak pada garis kritis, meskipun sering "bukti" bahwa semua solusi nontrivial ada di dalamnya telah cacat. Komputer juga telah digunakan untuk menguji solusi, dengan 10 triliun solusi nontrivial pertama terbukti berada pada garis kritis.
Sebuah bukti hipotesis Riemann akan memiliki konsekuensi yang luas untuk teori bilangan dan untuk penggunaan bilangan prima dalam kriptografi.
Hipotesis Riemann telah lama dianggap sebagai masalah terbesar yang tidak terpecahkan dalam matematika. Itu adalah salah satu dari 10 masalah matematika yang belum terpecahkan (23 di alamat cetak) disajikan sebagai tantangan bagi matematikawan abad ke-20 oleh matematikawan Jerman David Hilbert di Kongres Internasional Matematika Kedua di Paris pada 8 Agustus 1900. Pada 2000 ahli matematika Amerika Stephen Smale memperbarui ide Hilbert dengan daftar masalah penting untuk abad ke-21; hipotesis Riemann adalah nomor satu. Pada tahun 2000 itu disebut Masalah Milenium, salah satu dari tujuh masalah matematika yang dipilih oleh Clay Mathematics Institute of Cambridge, Mass., AS, untuk penghargaan khusus. Solusi untuk setiap Masalah Milenium bernilai $ 1 juta. Pada tahun 2008 Badan Proyek Penelitian Lanjutan Pertahanan AS (DARPA) mendaftarkannya sebagai salah satu Tantangan Matematika DARPA, 23 masalah matematika yang diajukannya proposal penelitian untuk pendanaan— “Tantangan Matematika Sembilan Belas: Menyelesaikan Hipotesis Riemann. Cawan Suci teori bilangan."
