Teori kategori
Abstraksi dalam matematika
Salah satu kecenderungan terbaru dalam pengembangan matematika adalah proses bertahap abstraksi. Matematikawan Norwegia, Niels Henrik Abel (1802–29) membuktikan bahwa persamaan tingkat kelima tidak dapat, secara umum, diselesaikan oleh radikal. Ahli matematika Prancis Évariste Galois (1811-1832), sebagian dimotivasi oleh karya Abel, memperkenalkan kelompok permutasi tertentu untuk menentukan kondisi yang diperlukan agar persamaan polinom dapat dipecahkan. Kelompok-kelompok konkret ini segera memunculkan kelompok-kelompok abstrak, yang digambarkan secara aksiomatis. Kemudian disadari bahwa untuk mempelajari kelompok-kelompok, perlu untuk melihat hubungan antara kelompok-kelompok yang berbeda — khususnya, pada homomorfisme yang memetakan satu kelompok ke kelompok lainnya sambil menjaga operasi kelompok. Maka orang-orang mulai mempelajari apa yang sekarang disebut kategori konkret kelompok, yang objeknya kelompok dan yang panahnya adalah homomorfisme. Tidak butuh waktu lama untuk kategori konkret untuk digantikan oleh kategori abstrak, sekali lagi dijelaskan secara aksiomatis.
Gagasan penting dari suatu kategori diperkenalkan oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada akhir Perang Dunia II. Kategori-kategori modern ini harus dibedakan dari kategori-kategori Aristoteles, yang lebih baik disebut tipe-tipe dalam konteks sekarang. Sebuah kategori tidak hanya memiliki objek tetapi juga panah (disebut juga sebagai morfisme, transformasi, atau pemetaan) di antara mereka.
Banyak kategori memiliki objek set yang diberkahi dengan beberapa struktur dan panah, yang mempertahankan struktur ini. Dengan demikian, terdapat kategori himpunan (dengan struktur kosong) dan pemetaan, kelompok dan homomorfisme kelompok, cincin dan homomorfisme cincin, ruang vektor dan transformasi linier, ruang topologi dan pemetaan kontinu, dan sebagainya. Bahkan ada, pada tingkat yang lebih abstrak, kategori kategori (kecil) dan fungsi, sebagai morfisme antara kategori yang disebut, yang menjaga hubungan antara objek dan panah.
Tidak semua kategori dapat dilihat dengan cara yang konkret ini. Misalnya, rumus dari sistem deduktif dapat dilihat sebagai objek dari kategori yang panahnya f: A → B adalah pengurangan B dari A. Sebenarnya, sudut pandang ini penting dalam ilmu komputer teoritis, di mana rumus dianggap sebagai sebagai jenis dan deduksi sebagai operasi.
Secara lebih formal, kategori terdiri dari (1) koleksi objek A, B, C,…, (2) untuk setiap pasangan objek yang dipesan dalam koleksi, kumpulan transformasi yang terkait termasuk identitas I A ∶ A → A, dan (3) hukum komposisi yang terkait untuk setiap triple objek yang dipesan dalam kategori sedemikian rupa sehingga untuk f ∶ A → B dan g ∶ B → C komposisi gf (atau g ○ f) adalah transformasi dari A ke C — yaitu, gf ∶ A → C. Selain itu, hukum asosiatif dan identitas diperlukan untuk dipegang (jika komposisi didefinisikan) -yakni h (gf) = (hg) f dan 1 B f = f = f1 A.
Dalam arti tertentu, objek-objek dari kategori abstrak tidak memiliki jendela, seperti monad Leibniz. Untuk menyimpulkan bagian dalam suatu objek, seseorang hanya perlu melihat semua panah dari objek lain ke A. Misalnya, dalam kategori set, elemen-elemen dari set A dapat diwakili oleh panah-panah dari set elemen satu yang tipikal menjadi A. Demikian pula, dalam kategori kategori kecil, jika 1 adalah kategori dengan satu objek dan tidak ada panah non-identitas, objek dari kategori A dapat diidentifikasi dengan functors 1 → A. Apalagi jika 2 adalah kategori dengan dua benda dan satu non-identitas panah, panah dari A dapat diidentifikasi dengan functors 2 → A.
Struktur isomorfik
Panah f: A → B disebut isomorfisme jika ada panah g: B → A terbalik dengan f-yang, seperti yang g ○ f = 1 A dan f ○ g = 1 B. Ini ditulis A ≅ B, dan A dan B disebut isomorfik, yang berarti bahwa mereka pada dasarnya memiliki struktur yang sama dan tidak perlu membedakan di antara mereka. Sejauh entitas matematika adalah objek kategori, mereka hanya diberikan hingga isomorfisme. Konstruksi set-teoretis tradisional mereka, selain dari melayani tujuan yang bermanfaat dalam menunjukkan konsistensi, benar-benar tidak relevan.
Misalnya, dalam konstruksi cincin bilangan bulat yang biasa, bilangan bulat didefinisikan sebagai kelas ekivalen dari pasangan (m, n) bilangan asli, di mana (m, n) setara dengan (m ′, n ′) jika dan hanya jika m + n ′ = m ′ + n. Idenya adalah bahwa kelas ekivalensi (m, n) harus dilihat sebagai m - n. Namun, yang penting bagi seorang kategorist adalah bahwa cincin ℤ dari bilangan bulat adalah objek awal dalam kategori cincin dan homomorfisme — yaitu, untuk setiap cincin ℝ ada homomorfisme unik ℤ → ℝ. Dilihat dengan cara ini, ℤ hanya diberikan hingga isomorfisme. Dalam semangat yang sama, harus dikatakan bukan bahwa ℤ terkandung dalam bidang ℚ dari bilangan rasional tetapi hanya bahwa homomorfisme ℚ → ℚ adalah satu-ke-satu. Demikian juga, tidak masuk akal untuk berbicara tentang persimpangan set-teoretis dari π dan akar kuadrat dari-1, jika keduanya dinyatakan sebagai himpunan set himpunan (ad infinitum).
Yang sangat menarik dalam yayasan dan di tempat lain adalah adjoint functors (F, G). Ini adalah pasangan fungsi antara dua kategori ? dan ℬ, yang bergerak berlawanan arah sehingga ada korespondensi satu-ke-satu antara himpunan panah F (A) → B di ℬ dan himpunan panah A → G (B) dalam ? —yaitu, sehingga himpunannya isomorfis.
