Geometri Euclidean
Jika kita mempertimbangkan geometri Euclidean, kita dengan jelas melihat bahwa itu mengacu pada hukum yang mengatur posisi benda tegar. Itu berubah untuk mempertanggungjawabkan pemikiran cerdik tentang menelusuri kembali semua hubungan yang menyangkut tubuh dan posisi relatif mereka dengan konsep "jarak" yang sangat sederhana (Strecke). Jarak menunjukkan benda tegar di mana dua titik material (tanda) telah ditentukan. Konsep persamaan jarak (dan sudut) mengacu pada eksperimen yang melibatkan kebetulan; komentar yang sama berlaku untuk teorema tentang kongruensi. Sekarang, geometri Euclidean, dalam bentuk yang diberikan kepada kami dari Euclid, menggunakan konsep dasar "garis lurus" dan "bidang" yang tampaknya tidak sesuai, atau bagaimanapun juga, tidak secara langsung, dengan pengalaman. tentang posisi tubuh yang kaku. Mengenai hal ini, harus diperhatikan bahwa konsep garis lurus dapat direduksi menjadi konsep jarak.1 Selain itu, geometricians yang kurang peduli dengan membawa keluar hubungan konsep dasar mereka untuk pengalaman dibandingkan dengan deduksi logis proposisi geometri dari beberapa aksioma diucapkan di awal.
Mari kita uraikan secara singkat bagaimana mungkin dasar geometri Euclidean dapat diperoleh dari konsep jarak.
Kita mulai dari persamaan jarak (aksioma persamaan jarak). Misalkan dua jarak yang tidak sama satu selalu lebih besar dari yang lain. Aksioma-aksioma yang sama berlaku untuk ketidaksetaraan jarak seperti menahan ketidaksetaraan angka.
Tiga jarak AB 1, BC 1, CA 1 dapat, jika CA 1 dipilih dengan tepat, memiliki tanda mereka BB 1, CC 1, AA 1 ditumpangkan satu sama lain sedemikian rupa sehingga hasil segitiga ABC. Jarak CA 1 memiliki batas atas yang mana konstruksi ini masih mungkin dilakukan. Poin A, (BB ') dan C kemudian terletak pada "garis lurus" (definisi). Ini mengarah pada konsep: menghasilkan jarak dengan jumlah yang sama dengan dirinya sendiri; membagi jarak menjadi bagian yang sama; menyatakan jarak dalam hal angka dengan menggunakan tolok ukur (definisi jarak-ruang antara dua titik).
Ketika konsep interval antara dua titik atau panjang jarak telah diperoleh dengan cara ini, kita hanya memerlukan aksioma berikut (teorema Pythagoras) untuk tiba di geometri Euclidean secara analitik.
Untuk setiap titik ruang (badan referensi) tiga angka (koordinat) x, y, z dapat ditugaskan — dan sebaliknya — sedemikian rupa sehingga untuk setiap pasangan poin A (x 1, y 1, z 1) dan B (x 2, y 2, z 2) memegang teorema:
ukur-angka AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Semua konsep dan proposisi lebih lanjut dari geometri Euclidean kemudian dapat dibangun murni secara logis atas dasar ini, khususnya juga proposisi tentang garis lurus dan bidang.
Pernyataan ini tentu saja tidak dimaksudkan untuk menggantikan konstruksi geometri Euclidean yang sangat aksiomatis. Kami hanya ingin menunjukkan secara masuk akal bagaimana semua konsepsi geometri dapat ditelusuri kembali ke jarak. Kita mungkin juga telah melambangkan seluruh dasar geometri Euclidean dalam teorema terakhir di atas. Hubungan dengan fondasi pengalaman kemudian akan dilengkapi dengan menggunakan teorema tambahan.
Koordinat dapat dan harus dipilih sehingga dua pasang titik dipisahkan dengan interval yang sama, sebagaimana dihitung dengan bantuan teorema Pythagoras, dapat dibuat bertepatan dengan satu dan jarak yang dipilih yang sama (pada padatan).
Konsep dan proposisi geometri Euclidean dapat diturunkan dari proposisi Pythagoras tanpa pengenalan benda tegar; tetapi konsep dan proposisi ini kemudian tidak akan memiliki konten yang dapat diuji. Mereka bukan proposisi "benar" tetapi hanya proposisi logis yang benar dari konten murni formal.
