Logika formal

Tableaux semantik

Sejak 1980-an teknik lain untuk menentukan validitas argumen di PC atau LPC telah mendapatkan popularitas, baik karena kemudahan belajarnya dan implementasinya yang langsung oleh program komputer. Awalnya disarankan oleh ahli logika Belanda Evert W. Beth, itu lebih sepenuhnya dikembangkan dan dipublikasikan oleh ahli matematika dan ahli logika Amerika Raymond M. Smullyan. Berlandaskan pada pengamatan bahwa premis-premis argumen yang valid tidak mungkin benar, sementara kesimpulannya salah, metode ini berupaya untuk menafsirkan (atau mengevaluasi) premis-premis tersebut sedemikian rupa sehingga mereka semua secara simultan puas dan negasi dari argumen tersebut. kesimpulannya juga puas. Keberhasilan dalam upaya semacam itu akan menunjukkan argumen itu tidak valid, sementara kegagalan untuk menemukan interpretasi seperti itu akan menunjukkan bahwa argumen itu valid.

Konstruksi tablo semantik berlangsung sebagai berikut: ungkapkan tempat dan negasi dari kesimpulan argumen di PC hanya menggunakan negasi (∼) dan disjungsi (∨) sebagai penghubung proposisional. Hilangkan setiap kemunculan dua tanda negasi secara berurutan (misalnya, becomesa menjadi ∼a). Sekarang buat diagram pohon yang bercabang ke bawah sehingga setiap disjungsi diganti oleh dua cabang, satu untuk disjunct kiri dan satu untuk kanan. Disjungsi asli benar jika salah satu cabang benar. Referensi ke hukum De Morgan menunjukkan bahwa negasi dari disjungsi adalah benar kalau-kalau negasi dari kedua disjungsi itu benar [yaitu, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Pengamatan semantik ini mengarah pada aturan bahwa negasi dari disjungsi menjadi satu cabang yang mengandung negasi dari masing-masing disjunct:

Pertimbangkan argumen berikut:

Menulis:

Sekarang hancurkan disjungsi dan bentuk dua cabang:

Hanya jika semua kalimat dalam setidaknya satu cabang adalah benar apakah mungkin untuk premis asli menjadi benar dan kesimpulannya salah (ekuivalen untuk negasi kesimpulan). Dengan menelusuri garis ke atas di setiap cabang ke bagian atas pohon, seseorang mengamati bahwa tidak ada penilaian a di cabang kiri yang akan menghasilkan semua kalimat di cabang itu yang menerima nilai benar (karena kehadiran a dan ∼a). Demikian pula, di cabang kanan, keberadaan b dan ∼b membuat penilaian tidak mungkin menghasilkan semua kalimat dari cabang yang menerima nilai tersebut benar. Ini semua adalah cabang yang mungkin; dengan demikian, tidak mungkin menemukan situasi di mana premisnya benar dan kesimpulannya salah. Argumen asli karena itu valid.

Teknik ini dapat diperluas untuk menangani penghubung lain:

Selain itu, dalam LPC, aturan untuk instantiating wffs terukur perlu diperkenalkan. Jelas, setiap cabang yang mengandung keduanya (∀x) ϕx dan ∼ϕy adalah salah satu di mana tidak semua kalimat di cabang itu dapat dipenuhi secara bersamaan (dengan asumsi konsistensi ω; lihat metalogik). Sekali lagi, jika semua cabang gagal secara simultan memuaskan, argumen aslinya valid.

Sistem khusus LPC

LPC seperti yang dijelaskan di atas dapat dimodifikasi dengan membatasi atau memperluas jangkauan WFF dengan berbagai cara:

• 1. Sistem darurat LPC. Beberapa sistem yang lebih penting yang dihasilkan oleh pembatasan dijelaskan di sini:

  • Mungkin diperlukan bahwa setiap variabel predikat menjadi monadik sambil tetap memungkinkan jumlah individu dan variabel predikat yang tak terbatas. Wff atom kemudian hanya terdiri dari variabel predikat diikuti oleh variabel individu tunggal. Kalau tidak, aturan pembentukan tetap seperti sebelumnya, dan definisi validitas juga seperti sebelumnya, meskipun disederhanakan dengan cara yang jelas. Sistem ini dikenal sebagai LPC monadik; ia menyediakan logika properti tetapi bukan relasi. Salah satu karakteristik penting dari sistem ini adalah bahwa ia dapat ditentukan. (Pengenalan bahkan satu variabel predikat diad tunggal, bagaimanapun, akan membuat sistem tidak dapat diputuskan, dan, bahkan, bahkan sistem yang hanya berisi satu variabel predikat diad tunggal dan tidak ada variabel predikat lain sama sekali telah terbukti tidak dapat dipastikan).

  • bSebuah sistem yang lebih sederhana dapat dibentuk dengan mensyaratkan (1) bahwa setiap variabel predikat menjadi monadik, (2) yang hanya menggunakan satu variabel individual (mis. x), (3) agar setiap kemunculan variabel ini terikat, dan (4) bahwa tidak ada kuantifier yang terjadi dalam lingkup yang lain. Contoh wffs dari sistem ini adalah (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] (“Apa pun yang ϕ adalah ψ dan χ”); (∃x) (ϕx · ∼ψx) (“Ada sesuatu yang ϕ tetapi tidak ψ”); dan (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (·x · ψx) (“Jika apa pun ϕ adalah ψ, maka ada sesuatu yang ϕ dan ψ”). Notasi untuk sistem ini dapat disederhanakan dengan menghilangkan x di mana-mana dan menulis ∃ϕ untuk “Sesuatu adalah ϕ,” ∀ (ϕ ⊃ ψ) untuk “Apa pun ϕ adalah ψ,” dan seterusnya. Meskipun sistem ini lebih sederhana daripada LPC monadik (yang merupakan fragmen), bentuk-bentuk dari berbagai kesimpulan dapat diwakili di dalamnya. Ini juga merupakan sistem yang dapat ditentukan, dan prosedur pengambilan keputusan dari jenis elementer dapat diberikan untuk itu.

• 2. Ekstensi LPC. Sistem yang lebih rumit, di mana berbagai proposisi dapat diekspresikan, telah dibangun dengan menambahkan LPC simbol baru dari berbagai jenis. Penambahan yang paling mudah adalah:

  • Satu konstanta individu atau lebih (katakanlah, a, b,

    ): konstanta ini ditafsirkan sebagai nama-nama individu tertentu; secara formal mereka dibedakan dari variabel individu oleh fakta bahwa mereka tidak dapat terjadi dalam quantifiers; misal, (∀x) adalah quantifier tetapi (∀a) tidak.

  • Satu konstanta predikat atau lebih (katakanlah, A, B,

    ), masing-masing dari beberapa derajat yang ditentukan, dianggap sebagai penunjukan sifat atau hubungan tertentu.

Tambahan lebih lanjut yang mungkin, yang membutuhkan penjelasan yang lebih lengkap, terdiri dari simbol yang dirancang untuk mendukung fungsi. Gagasan fungsi dapat dijelaskan secara memadai untuk tujuan saat ini sebagai berikut. Dikatakan ada fungsi tertentu dari n argumen (atau, derajat n) ketika ada aturan yang menentukan objek unik (disebut nilai fungsi) setiap kali semua argumen ditentukan. Dalam domain manusia, misalnya, "ibu dari -" adalah fungsi monadik (fungsi dari satu argumen), karena untuk setiap manusia ada individu unik yang adalah ibunya; dan dalam domain bilangan asli (yaitu, 0, 1, 2,

), "Jumlah - dan -" adalah fungsi dari dua argumen, karena untuk setiap pasangan bilangan asli ada bilangan alami yang merupakan jumlah mereka. Simbol fungsi dapat dianggap membentuk nama dari nama lain (argumennya); dengan demikian, setiap kali x dan y nama angka, "jumlah x dan y" juga nama nomor, dan juga untuk jenis fungsi dan argumen lainnya.

Untuk mengaktifkan fungsi yang diekspresikan dalam LPC dapat ditambahkan:

• satu variabel fungsi atau lebih (katakanlah, f, g,

  ) atau satu atau lebih konstanta fungsi (katakanlah, F, G,

  ) atau keduanya, masing-masing dari beberapa derajat yang ditentukan. Yang pertama diinterpretasikan sebagai rentang fungsi yang ditentukan derajat dan yang terakhir sebagai fungsi spesifik yang ditunjuk pada derajat tersebut.

Ketika salah satu atau semua a-c ditambahkan ke LPC, aturan pembentukan tercantum dalam paragraf pertama bagian pada kalkulus predikat bawah (lihat di atas Kalkulus predikat bawah) perlu dimodifikasi untuk memungkinkan simbol baru dimasukkan ke dalam wffs. Ini dapat dilakukan sebagai berikut: Istilah pertama didefinisikan sebagai (1) variabel individu atau (2) konstanta individu atau (3) ekspresi apa pun yang dibentuk dengan mengawali variabel fungsi atau fungsi konstan derajat n ke sembarang n istilah (istilah-istilah ini - argumen dari simbol fungsi - biasanya dipisahkan oleh koma dan dilampirkan dalam tanda kurung). Aturan pembentukan 1 kemudian diganti dengan:

• 1′. Sebuah ekspresi yang terdiri dari variabel predikat atau konstanta predikat derajat n diikuti oleh n istilah adalah wff.

Dasar aksiomatik yang diberikan dalam bagian aksioma LPC (lihat aksioma APC di atas) juga memerlukan modifikasi berikut: dalam skema aksioma 2 istilah apa pun diperbolehkan untuk mengganti kapan β terbentuk, asalkan tidak ada variabel yang bebas di dalam LPC. Istilah menjadi terikat dalam β. Contoh-contoh berikut akan menggambarkan penggunaan penambahan LPC yang disebutkan di atas: biarkan nilai-nilai variabel individu menjadi bilangan asli; biarkan konstanta individu a dan b masing-masing mewakili angka 2 dan 3; biarkan A berarti "adalah prima"; dan biarkan F mewakili fungsi angka dua "jumlah." Kemudian AF (a, b) menyatakan proposisi “Jumlah 2 dan 3 adalah prima,” dan (∃x) AF (x, a) menyatakan proposisi “Ada angka sehingga jumlah itu dan 2 adalah prima."

Pengenalan konstanta biasanya disertai dengan penambahan pada dasar aksiomatik aksioma khusus yang mengandung konstanta tersebut, yang dirancang untuk mengekspresikan prinsip-prinsip yang menahan objek, properti, relasi, atau fungsi yang diwakili oleh mereka — meskipun mereka tidak memiliki objek, properti, relasi, atau fungsi secara umum. Dapat diputuskan, misalnya, untuk menggunakan konstanta A untuk mewakili hubungan diadik "lebih besar dari" (sehingga Axy berarti "x lebih besar dari y" dan seterusnya). Hubungan ini, tidak seperti banyak yang lain, bersifat transitif; yaitu, jika satu objek lebih besar dari satu detik dan yang kedua pada gilirannya lebih besar dari sepertiga, maka yang pertama lebih besar dari yang ketiga. Oleh karena itu, skema aksioma khusus berikut dapat ditambahkan: jika t ₁, t ₂, dan t ₃ adalah istilah apa pun, maka (Pada ₁ t ₂ · Pada ₂ t ₃) ⊃ Pada ₁ t ₃ adalah aksioma. Dengan cara seperti itu sistem dapat dibangun untuk mengekspresikan struktur logis dari berbagai disiplin ilmu tertentu. Daerah di mana sebagian besar pekerjaan semacam ini telah dilakukan adalah aritmatika bilangan alami.

PC dan LPC kadang-kadang digabungkan menjadi satu sistem. Ini dapat dilakukan paling sederhana dengan menambahkan variabel proposisional ke daftar primitif LPC, menambahkan aturan pembentukan yang menyatakan bahwa variabel proposisional berdiri sendiri adalah wff, dan menghapus "LPC" dalam skema aksioma 1. Ini menghasilkan seperti wffs seperti ekspresi as (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx dan (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-dengan-identitas. Kata "is" tidak selalu digunakan dengan cara yang sama. Dalam proposisi seperti (1) “Socrates berhidung pesek,” ekspresi yang mendahului “adalah” menyebutkan nama seorang individu dan ungkapan yang mengikutinya adalah properti yang dikaitkan dengan individu tersebut. Tetapi, dalam sebuah proposisi seperti (2) “Socrates adalah filsuf Athena yang meminum hemlock,” ungkapan yang mendahului dan mengikuti “adalah” kedua nama individu, dan arti dari keseluruhan proposisi adalah bahwa individu yang dinamai oleh yang pertama adalah individu yang sama dengan individu yang disebutkan oleh yang kedua. Dengan demikian, dalam 2 "adalah" dapat diperluas ke "adalah individu yang sama dengan," sedangkan dalam 1 tidak bisa. Seperti yang digunakan dalam 2, "adalah" singkatan dari hubungan diad — yaitu, identitas — yang ditegaskan oleh proposisi di antara kedua individu. Proposisi identitas harus dipahami dalam konteks ini sebagai pernyataan tidak lebih dari ini; khususnya tidak dapat dianggap sebagai menyatakan bahwa kedua ungkapan penamaan memiliki arti yang sama. Contoh yang banyak dibahas untuk menggambarkan poin terakhir ini adalah "Bintang pagi adalah bintang malam." Adalah salah bahwa ungkapan "bintang pagi" dan "bintang malam" memiliki arti yang sama, tetapi memang benar bahwa benda yang dirujuk oleh yang pertama sama dengan yang disebut oleh yang terakhir (planet Venus).

Untuk memungkinkan bentuk-bentuk proposisi identitas untuk diekspresikan, konstanta predikat diad ditambahkan ke LPC, yang notasi yang paling umum adalah = (ditulis antara, daripada sebelumnya, argumennya). Interpretasi yang dimaksudkan dari x = y adalah bahwa x adalah individu yang sama dengan y, dan bacaan yang paling nyaman adalah "x identik dengan y." Negasi ∼ (x = y) umumnya disingkat x ≠ y. Untuk definisi model LPC yang diberikan sebelumnya (lihat di atas Validitas di LPC) sekarang ada ditambahkan aturan (yang sesuai dengan cara yang jelas dengan interpretasi yang dimaksud) bahwa nilai x = y adalah 1 jika anggota yang sama dari D ditugaskan untuk x dan y dan jika tidak nilainya 0; validitas kemudian dapat didefinisikan seperti sebelumnya. Penambahan berikut (atau beberapa yang setara) dibuat dengan dasar aksiomatik untuk LPC: aksioma x = x dan skema aksioma itu, di mana a dan b adalah variabel individu dan α dan β adalah wffs yang berbeda hanya dalam hal itu, pada satu atau lebih tempat di mana α memiliki kemunculan bebas a, β memiliki kemunculan bebas b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) adalah aksioma. Sistem seperti itu dikenal sebagai predikat-kalkulus-dengan-identitas yang lebih rendah; tentu saja dapat ditambah lebih lanjut dengan cara lain yang disebutkan di atas dalam "Ekstensi LPC," dalam hal mana istilah apa pun dapat berupa argumen dari =.

Identitas adalah hubungan kesetaraan; yaitu, itu refleksif, simetris, dan transitif. Refleksifitasnya secara langsung diekspresikan dalam aksioma x = x, dan teorema-teorema yang mengungkapkan simetri dan transitivitasnya dapat dengan mudah diturunkan dari dasar yang diberikan.

Beberapa proposal LPC dengan identitas mengungkapkan tentang jumlah hal yang memiliki properti tertentu. "Setidaknya satu hal adalah ϕ" tentu saja, sudah dapat diekspresikan oleh (∃x) ϕx; “Setidaknya dua hal yang berbeda (tidak identik) adalah ϕ” sekarang dapat diekspresikan oleh (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); dan urutannya dapat dilanjutkan dengan cara yang jelas. “Paling-paling satu hal adalah ϕ” (yaitu, “Tidak ada dua hal yang berbeda keduanya ϕ”) dapat diekspresikan dengan negasi dari wff yang disebutkan terakhir atau dengan padanannya, (∀x) (∀y) [ϕx · ϕy) ⊃ x = y], dan urutannya dapat dengan mudah dilanjutkan. Rumus untuk "Persis satu hal adalah ϕ" dapat diperoleh dengan menggabungkan rumus untuk "Setidaknya satu hal adalah ϕ" dan "Paling banyak satu hal adalah ϕ," tetapi wff sederhana yang setara dengan konjungsi ini adalah (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], yang berarti “Ada sesuatu yang ϕ, dan segala sesuatu yang ϕ adalah benda itu.” Proposisi "Persis dua hal adalah ϕ" dapat diwakili oleh (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; yaitu, "Ada dua hal yang tidak identik yang masing-masing ϕ, dan apa pun yang ϕ adalah satu atau yang lainnya." Jelas, urutan ini juga dapat diperpanjang untuk memberikan formula untuk "Persis n hal-hal ϕ" untuk setiap bilangan alami n. Lebih mudah untuk menyingkat wff untuk "Persis satu hal adalah ϕ" menjadi (∃! X) ϕx. Penjumlah khusus ini sering dibaca dengan keras sebagai "E-Shriek x."

Deskripsi yang pasti

Ketika properti tertentu ϕ milik satu dan hanya satu objek, akan lebih mudah untuk memiliki ekspresi yang menamai objek itu. Notasi umum untuk tujuan ini adalah (ιx) ϕx, yang dapat dibaca sebagai “benda yang ϕ” atau lebih singkat sebagai “ϕ”. Secara umum, di mana a adalah variabel individu dan α adalah wff, (ιa) α kemudian berarti nilai tunggal dari a yang membuat α benar. Ekspresi bentuk "si-dan-begitu" disebut deskripsi yang pasti; dan (ιx), yang dikenal sebagai operator deskripsi, dapat dianggap membentuk nama seseorang di luar formulir proposisi. (ιx) dianalogikan dengan quantifier dalam hal itu, ketika diawali dengan wff α, ia mengikat setiap kemunculan bebas x dalam α. Relettering variabel terikat juga diizinkan; dalam kasus paling sederhana, (ιx) ϕx dan (ιy) eachy masing-masing dapat dibaca hanya sebagai “the ϕ.”

Sejauh menyangkut aturan pembentukan, deskripsi pasti dapat dimasukkan ke dalam LPC dengan membiarkan ekspresi bentuk (ιa) α dihitung sebagai istilah; aturan 1 ′ di atas, dalam "Ekstensi LPC," akan memungkinkan mereka terjadi dalam rumus atom (termasuk formula identitas). "Φ adalah (yaitu, memiliki properti) ψ" kemudian dapat dinyatakan sebagai ψ (ιx) ϕx; “Y adalah (individu yang sama dengan) ϕ” dengan y = (ιx) ϕx; "Φ adalah (individu yang sama dengan) the ψ" sebagai (ιx) ϕx = (ιy) ψy; Dan seterusnya.

Analisis yang benar dari proposisi yang berisi deskripsi pasti telah menjadi subyek kontroversi filosofis yang cukup besar. Namun, satu akun yang diterima secara luas — secara substansial yang disajikan dalam Principia Mathematica dan dikenal sebagai teori deskripsi Russell — menyatakan bahwa “The ϕ is ψ” harus dipahami sebagai makna bahwa tepat satu hal adalah ϕ dan benda itu juga ψ. Dalam hal ini dapat diekspresikan dengan LPC-dengan-identitas yang tidak mengandung operator deskripsi — yaitu, (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Secara analog, "y adalah ϕ" dianalisis sebagai "y adalah ϕ dan tidak ada yang lain adalah ϕ" dan karenanya dinyatakan oleh (2) ·y · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). "Φ adalah ψ" dianalisis sebagai "Persis satu hal adalah ϕ, tepat satu hal adalah ψ, dan apa pun yang ϕ adalah ψ" dan karenanya dinyatakan oleh (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx dan (ιx) ϕx = (ιy) ψy kemudian dapat dianggap sebagai singkatan untuk (1), (2), dan (3), masing-masing; dan dengan menggeneralisasi untuk kasus yang lebih kompleks, semua wff yang berisi operator deskripsi dapat dianggap sebagai singkatan untuk wff yang lebih panjang yang tidak.

Analisis yang mengarah ke (1) sebagai rumus untuk "The ϕ is ψ" mengarah ke berikut untuk "The ϕ bukan ψ": (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Penting untuk dicatat bahwa (4) bukan negasi dari (1); alih-alih, negasi ini adalah (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Perbedaan makna antara (4) dan (5) terletak pada kenyataan bahwa (4) benar hanya ketika ada satu hal yang pasti ϕ dan benda itu tidak ψ, tetapi (5) benar baik dalam kasus ini maupun juga ketika tidak ada ϕ sama sekali dan ketika lebih dari satu hal adalah ϕ. Mengabaikan perbedaan antara (4) dan (5) dapat mengakibatkan kebingungan pikiran yang serius; dalam percakapan sehari-hari, sering tidak jelas apakah seseorang yang menyangkal ϕ adalah that mengakui bahwa tepat satu hal adalah ϕ tetapi menyangkal bahwa itu adalah ψ, atau menyangkal bahwa tepatnya satu hal adalah ϕ.

Pendapat dasar teori deskripsi Russell adalah bahwa proposisi yang mengandung deskripsi pasti tidak boleh dianggap sebagai pernyataan tentang objek yang deskripsi itu merupakan nama melainkan sebagai pernyataan yang diukur secara eksistensial bahwa properti tertentu (agak kompleks) memiliki sebuah contoh. Secara formal, ini tercermin dalam aturan untuk menghilangkan operator deskripsi yang diuraikan di atas.